部分對象 (subobject)
對象$ Aへの mono 射$ s:S\hookrightarrow A,$ t:T\hookrightarrow Aの同値關係を、互ひに互ひを通して分解する事$ s\sim t\iff\exist s'(s=s';t)\land\exist t'(t';s=t)で定める。$ Aへの mono 射の集まりの同値關係$ \simによる同値類を、$ Aの部分對象 (subobject)と呼ぶ $ {\bf Monic}(A)の對象は$ Aへの mono 射であり、射は分解する事による半順序 (poset)$ s\le t\iff\exist s'(s=s';t) subquotient
部分對象分類子 (subobject classifier)$ \Omega 終對象を$ 1と書く。任意の mono 射$ j:U\hookrightarrow Xに對して、可換圖式$ U\xrightarrow{j}X\xrightarrow{\chi_j}\Omega\xleftarrow{\rm true}1\xleftarrow{}Uを引き戾しにする射$ \chi_j:X\to\Omegaがただ一つ存在するならば、$ \Omegaを部分對象分類子と呼ぶ 射$ {\rm true}:1\hookrightarrow\Omegaは mono 射になる 射$ \chi_j:X\to\Omegaを分類射 (classifying morphism) と呼ぶ
部分對象函手 (subobject functor)
對象$ Xの部分對象 (subobject)の全體が集合を成すとし、これを$ {\rm Sub}(X)と書く。函手$ {\rm Sub}:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set},X\mapsto{\rm Sub}(X),f_{:x\to y}\mapsto{\rm Sub}(f)_{:{\rm Sub}(Y)\to{\rm Sub}(X)}を部分對象函手と呼ぶ 部分對象函手は表現可能函手$ {\rm Sub}\cong{\bf C}(\_,\Omega)であり、部分對象分類子$ \Omegaがこの函手を表現する對象である ←→商對象餘分類子 (quotient object coclassifier)