部分對象 (subobject)
對象$ Aへの mono 射$ s:S\hookrightarrow A,$ t:T\hookrightarrow Aの同値關係を、互ひに互ひを通して分解する事$ s\sim t\iff\exist s'(s=s';t)\land\exist t'(t';s=t)で定める。$ Aへの mono 射の集まりの同値關係$ \simによる同値類を、$ Aの部分對象 (subobject)と呼ぶ $ {\bf Monic}(A)の對象は$ Aへの mono 射であり、射は分解する事による半順序 (poset)$ s\le t\iff\exist s'(s=s';t) subquotient
部分對象分類子 (subobject classifier)$ \Omega 有限完備な圈を考へ、終對象を$ 1と書く。任意の mono 射$ j:U\hookrightarrow Xに對して、可換圖式$ \begin{CD}U @>!>> 1 \\ @VjVV @VV{\rm true}V \\ X @>>!\chi_j> \Omega\end{CD}を引き戾しにする射$ \chi_j:X\to\Omegaがただ一つ存在するならば、組$ (\Omega,{\rm true})を部分對象分類子と呼ぶ 射$ {\rm true}:1\hookrightarrow\Omegaは mono 射になる 射$ \chi_j:X\to\Omegaを分類射 (classifying morphism) と呼ぶ
指示函數$ X\to\{0,1\}によって部分集合を指定する事に對應する
部分對象函手 (subobject functor)
對象$ Xの部分對象 (subobject)の全體が集合を成すとし、これを$ {\rm Sub}(X)と書く。函手$ {\rm Sub}:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set},X\mapsto{\rm Sub}(X),f_{:X\to Y}\mapsto{\rm Sub}(f)_{:{\rm Sub}(Y)\to{\rm Sub}(X)}を部分對象函手と呼ぶ 部分對象函手は表現可能函手$ {\rm Sub}\cong{\bf C}(\_,\Omega)であり、部分對象分類子$ \Omegaがこの函手を表現する對象である ←→商對象餘分類子 (quotient object coclassifier) 有限餘完備な圈を考へ、始對象を$ 0と書く。任意の epi 射$ f:X\to Uに對して、可換圖式$ \begin{CD}Q @>\epsilon>> 0 \\ @V!{\cal F}_UVV @VV!V \\ X @>>f> U\end{CD}を押し出しにする射$ {\cal F}_U:Q\to Xがただ一つ存在するならば、組$ (Q,{\cal F}_U)を商對象分類子と呼ぶ